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單墫:數學學習與解題

發佈時間:2018-02-26 點擊數: 字號:- 小 + 大【收藏】【打印文章】

單墫:數學學習與解題

單墫教授簡介

單墫,1943年11月生,數學家,數學教育家,教授,博士生導師,我國著名數學傳播、普及和數學競賽的專家。1983年獲理科博士學位(我國首批18名博士之一),1991年當選全國“優秀教師”,1991年7月起享受政府特殊津貼,1992年評爲國家有突出貢獻的中青年專家。曾任南京師範大學數學系主任,南京數學學會理事長,中國數學奧林匹克委員會委員、教練組組長,國家教委理科試驗理專家組組長。1989年作爲中國數學奧林匹克代表隊副領隊、主教練,1990年作爲領隊,率隊參賽IMO均獲總分第一。代表作“單墫解題研究叢書”,包括《解題研究》《解題漫談》《我怎樣解題》《數學競賽研究教程》等。

 

談數學學習

說實話,小時候我自己對數學並不是太上心,我其實更喜歡文史一些。喜歡看小說,看歷史上的東西。那時候覺得數學好像沒什麼用,就是覺得比較容易。我小時候喜歡玩,下棋,比如象棋、軍棋,那時候沒有圍棋,圍棋那時候不普及,還有打撲克牌、牌九。其實我小的時候就是喜歡玩,數學也沒花什麼功夫,那時候也不像現在,要學這麼多奧數。


我在小學的時候做算術應用題有個特點,老師那時候都要求解應用題要分開寫幾個式子,但是我基本上從頭到尾就寫一個式子。因爲那時候數學學得不錯,腦子轉的很快,所以可以就寫一個式子。 


當時小學數學比較容易,初中也學的很少。像平面幾何,我們初中都不學相似,相似是在高中才學的,用的是蘇聯教材,但教材體系比較嚴謹。我覺得那時候初中對平面幾何的表達都要求比較嚴格。我們做平面幾何都要求打草稿的,我語文作文都不打草稿,但是做平面幾何是要打一個草稿,然後再寫上去。我們老師要求非常嚴格,他打個差都是打對角線的那種大差。他個子也高,嗓門也大,一叫大家都嚇一跳,很認真、很嚴肅。但是初中數學那時確實不是很難,不過我們都覺得很有意思。好就好在不是很難,都是因爲興趣、喜歡,思維要求也不超過我們那時候學生的水平,學生只要努力就能達到了,要是太難的學生就該沒有興趣了。


到了高一稍微花了一點功夫,當時平面幾何書是線裝本的,剛發下來老師還沒講我就把題目都做了一遍。那個教材習題比較多,還是不錯的。現在的教材也有這個特點,習題比較多。我那時就是喜歡自己看看書,主要還是因爲有興趣。我們那時候書看的也不多,平面幾何好不容易有一本李儼的《近世幾何學初編》,不過排版的錯誤非常多。後來有一個同學買了一本邱丕榮的《近世幾何學》,大家當了寶貝,那個書相當好了,但也就只有平面幾何而已,現在來看眼界非常淺,那時沒看到過現在許多東西。我們那時候還組織了一個數學小組,叫FSTY,四個同學一起做《數學通報》上的題目。FSTY其實就是每個人的姓氏首字母。其實我們那時候就是覺得做數學題很好玩,也沒有說特別懂什麼的,都是自己感覺興趣。但水平也就如此而已,那時候書也少,偶爾看幾本書或者小冊子,也沒有看得太懂。那時候就喜歡玩兒,可是好玩的東西也少,下下棋啊,書也少。


上高中那會兒,我哥哥比我高兩個年級,他是南京師範大學數學系的,所以有時候我就看看他的書。他到大學就學微積分了,我也拿他的書來看看,就是也看看微積分,比較淺的也看了一些。那時候我還在上中學,可能看的最花功夫的一本書是高揚芝的《極限淺說》,她是南京師範大學早期的系主任,一位女教授。說老實話,那本《極限淺說》寫的一點都不淺,書中什麼都要證的,而且印刷錯誤非常的多,真的看得頭疼得要死,但是不管怎麼說總想要看下來,確實覺得我看書的能力還是有的,堅持下來以後,後來看書不覺得吃力,就是說自學的能力還是有提高的,自己能看書了。


後來接觸到的微積分教材比較嚴謹,我們大概在高三也看了。上大學以前我也看過,就是自學過一些東西。好像數學是看那些書,亂看看,也沒有什麼計劃,我哥哥買了些書他看,我跟着他看,其他的真是沒怎麼用過功。

但是像我這樣不用功的也少,我上課淨是在胡思亂想,很少聽課,常常上課做作業,在學校時就偷偷的做,放學時就做完了。那時候應該說課程比較輕鬆,相對來說比較容易,跟現在不好比,現在中學學的內容太多。我的小測驗成績往往不大好,數學可能好些,可以做出幾道題,總歸就是不非常用功,那時候不懂得用功。

談數學解題

解題能力的話應該說也是要鍛鍊的。我在中國科學技術大學上研究生時,同宿舍的有肖剛和李克正,他們的解題能力都很強。因爲我“文革”前就教書了,他們那時候都還是學生,所以中學這塊兒知識我覺得我還是很強的,就是做題能力很好,但是跟他們一比卻不高。他們有很好的想法,而且思路很活,跟他們學到不少的東西。剛開始大家一起做題,做美國的大學生競賽題,確實收穫很大,他們思維很開闊,跟這兩個人學到很多東西。他們對我的影響很大,解題方面的能力提高很多。你跟一個高手在一起切磋纔會有很大的進步,就跟下棋一樣,你跟一個下得好的一起下,很容易提高。

 

我還在解題上有個心得,就是總希望把題解得更好點,那就需要在做完以好好總結下。在解題這方面波利亞的幾本書是相當好的,如《怎樣解題》,他確實是有真正的看法。我一直是要求自己寫完以後要回顧,要注意看能不能寫得更好一點。對老師來說,不是說一個問題你繞了5個圈子解決了,你還要帶着人家再要繞5個圈子。即使你自己繞了5個圈子,講的時候,要讓人家少繞圈子這纔是好的,所以要注意這個問題,每次都注意做的更好一點。


現在的學生做題很多了,也不一定對他的解題有特別大的幫助。首先現在的學生功利性太強,他不一定是因爲喜歡數學而去做題的。

第二,確實是有些人把太難的題目給小孩了,這個不好。包括教材裏面也有很多很難的題目,以前教材中的題目難度還比較平穩,偶爾有點難的題放在最後。現在你不知道忽然哪個難題就“錨”在裏面,這個很不好。教學時可以補充一點課外題,但是基本上來說不要太難,更不要總是以中考、高考題爲目標,我覺得現在有些題是過分難了。一個題目是你自己解出來,還是看了解答之後想出來的,是很不一樣的。我們許多人碰到難題,看了解答覺得不難,其實是不恰當的。

 

第三,就是初中教材的要求太低,而課外的題太難。以前是課內外差別不大,課外難一點,但不是難很多,現在差距太大。這也許和現在的課標制定有關。初中課標把幾何證明幾乎取消了,把幾何的表達要素基本上取消了,把三次方公式、十字相乘這些乘法公式基本取消,那等於初中的代數也沒有學,所以初中的教材東西就很少。在學校裏面沒有讓學生學,學生跑到外面學,這樣就很花時間很花精力。你在學校給他學點兒就好了,他也不累,現在反而造成他負擔很重。如果僅僅學在學校教的東西又太少,確實也不行,這是一個大問題。總歸教育搞成這樣,還是有問題的。從1980年代末以來,教育水平是有所下降。本來1980年代左右還是可以,現在除了應試高考的書基本上也沒有什麼了。

 

現在的問題就是給數學的負擔太重,剛纔講初中教材內容少而空,高中教材的內容卻是多而雜。你比如說算法的東西不應該在數學裏面,應該是計算機的內容,這個應該把它切掉,把這個切掉以剩下的就少很多。現在學生學的確實比較多比較雜。作爲數學本身應該學習的最基本的東西反而不存在了。就像我們學生在學校裏面需要把身體鍛鍊好,你不能讓學生既要會踢足球,又要會打籃球,他各個項可以自己去搞,我們教他們把身體基本素質鍛鍊好,提高基本的反應靈敏度,學一些基本的東西。數學要把自己的體系搞好,現在好多人不承認數學有一個體系,要把體系打掉,非要過度強調應用。數學主要是培養人的思維能力,當然學好數學需要的思維能力也是很強的。


總結數學解題的12條原則:

(1)要享受到解題的樂趣,對解題有濃厚的興趣,能有幾分癡迷更好;

(2)要有充足的信心;

(3)要有百折不回的決心與堅韌不拔的毅力;

(4)要做100道有質量的題目;

(5)反覆探索,大膽地跟着感覺走;

(6)從簡單的做起;

(7)從不同的角度看問題;

(8)學、思結合,發揮創造性,努力產生“好想法”;

(9)設法創造條件,不斷變更問題;

(10)引入適當字母,向基本量靠攏;

(11)力求簡單自然,直剖核心;

(12)注意總結。


選自曹一鳴等《與數學家同行》、單墫《解題研究》。

 

(編輯:cug1934)

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